Pagpataas sa usa ka komplikado nga numero ngadto sa usa ka natural nga gahum

Niini nga publikasyon, atong hisgotan kon sa unsang paagi ang usa ka komplikadong numero mahimong mapataas ngadto sa usa ka gahum (lakip ang paggamit sa De Moivre nga pormula). Ang teoretikal nga materyal giubanan sa mga pananglitan alang sa mas maayong pagsabot.

Pagpataas sa usa ka komplikado nga numero ngadto sa usa ka gahum

Una, hinumdomi nga ang usa ka komplikado nga numero adunay kinatibuk-ang porma: z = a + bi (algebraic nga porma).

Karon kita makapadayon direkta ngadto sa solusyon sa problema.

Kuwadrado nga numero

Mahimo natong irepresentar ang degree isip produkto sa parehas nga mga hinungdan, ug dayon pangitaon ang ilang produkto (samtang gihinumdoman kana i² =-1).

z² = (usa ka + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Pananglitan 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Mahimo usab nimo gamiton, nga mao ang square sa sum:

z² = (usa ka + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Mubo nga sulat: Sa samang paagi, kon gikinahanglan, ang mga pormula alang sa kuwadrado sa kalainan, ang cube sa suma / kalainan, ug uban pa mahimong makuha.

Nth degree

Ipataas ang usa ka komplikado nga numero z sa kadaghan n mas sayon ​​kon kini girepresentar sa trigonometriko nga porma.

Hinumdomi nga, sa kinatibuk-an, ang notasyon sa usa ka numero ingon niini: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sala φ).

Alang sa exponentiation, mahimo nimong gamiton Ang pormula ni De Moivre (gingalan sa English nga matematiko nga si Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Ang pormula makuha pinaagi sa pagsulat sa trigonometric nga porma (ang mga module gipadaghan, ug ang mga argumento gidugang).

Panig-ingnan 2

Ipataas ang usa ka komplikado nga numero z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) ngadto sa ikawalo nga ang-ang.

solusyon

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sala(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).